অষ্টম শ্রেণির গণিত ৯ম অধ্যায় পিথাগোরাসের উপপাদ্য এর গুরত্বপূর্ণ প্রশ্ন ও সমাধান পিডিএফ ডাউনলোড| JSC MCQ Math Solution PDF Download

জে.এস.সি গণিত ৯ম অধ্যায় : পিথাগোরাসের উপপাদ্য এর বহুনির্বাচনী সাজেশন পিডিএফ ডাউনলোড

৯ম অধ্যায়

পিথাগোরাসের উপপাদ্য

এখানের সবগুলো প্রশ্ন ও উত্তর পিডিএফ আকারে নিচে দেওয়া লিংক থেকে ডাউনলোড করতে পারবেন।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য 

গণিতবিদ্যায় পিথাগোরাসের উপপাদ্য বা পিথাগোরিয়ান থিউরেম হল ইউক্লিডীয় জ্যামিতির অন্তর্ভুক্ত সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু সম্পর্কিত একটি সম্পর্ক। এই উপপাদ্যটি গ্রিক গণিতবিদ পিথাগোরাস-এর নামানুসারে করা হয়েছে, যাকে ঐতিহ্যগতভাবে এই উপপাদ্যদের আবিষ্কারক ও প্রমাণকারী হিসেবে গণ্য করা হয়। তবে উপপাদ্যটির ধারণা তার সময়ের আগে থেকেই প্রচলিত ছিল। চীনে এই উপপাদ্যটি “গোউযু থিউরেম” (勾股定理) হিসেবে প্রচলিত যা ৩, ৪ ও ৫ বাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।এই উপপাদ্যমতে, কোন একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ঐ ত্রিভুজের অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। যদি আমরা c কে অতিভুজ এবং a ও b কে অপর দুই বাহুর দৈর্ঘ্য ধরি, তাহলে সমীকরণের সাহায্যে উপপাদ্যটি হবে

 

বা, c এর মান নির্ণয়ের ক্ষেত্রে:

এই সূত্রে সমবাহু ত্রিভুজের একটি বৈশিষ্ট্য সাধারণ সূত্রের সাহায্যে প্রকাশ করা হয় যার মাধ্যমে কোন ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য জানা থাকলে তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়। এই সূত্রের একটি সাধারণকৃত রূপ হল ল অফ কজিনস যার সাহায্যে যে কোন ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায় যখন বাকী দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য এবং তাদের মধ্যকার কোণের মান দেয়া থাকে। যদি বাহু দুটির মধ্যকার কোণটি সমকোণ হয় তবে পিথাগোরাস উপপাদ্যের সাহায্যে তা নির্ণয় সম্ভব।

Pythagorean

অষ্টম শ্রেণির পিথাগোরাসের উপপাদ্য এর সহজ উপায়ে প্রমাণ

সদৃশ ত্রিভুজ ব্যবহার করে প্রমাণ

এ প্রমাণটি অনুপাতের উপর ভিত্তি করে প্রতিষ্ঠিত যাতে দুটি সদৃশ ত্রিভুজকে ব্যবহার করা হয়েছে।

ধরা যাক ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ , যার সমকোণটি হল C, চিত্রে প্রদর্শিত হয়েছে। C বিন্দু অঙ্কিত লম্ব H বাহু, AB কে ছেদ করে। ফলে সৃষ্ট নতুন ত্রিভুজ ACH , পূর্বোক্ত ABC এর সদৃশ হবে, কেননা এদের উভয়ের একটি কোণ সমকোণ ও একটি কোণ A সাধারণ। ফলে তৃতীয় কোণটিও সমান হবে এবং একই কারণে CBH ত্রিভুজটিও ABC এর সদৃশ। এই সদৃশতার দরুন দুটি অনুপাত…

হবে

তাই

এগুলো নিম্নোক্ত উপায়ে লেখা যায়

দুটি সমতাকে যোগ করে, পাওয়া যায়

এটিই হল, পিথাগোরাসের উপপাদ্য:

বীজগাণিতিক প্রমাণ | পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিকল্প প্রমাণ

বীজগাণিতিক উপায়ে নিম্নভাবে সূত্রটির প্রমাণ করা যায়। পাশের চিত্রটির বৃহত বর্গটির চার কোণে চারটি সমকোণী ত্রিভুজ আছে যাদের প্রত্যেকের ক্ষেত্রফল

Pythagproof

 

 

ই পুরো বর্গের ক্ষেত্রফল; সমীকরণ ১

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2

অন্য ভাবে এই বর্গের ক্ষেত্রফল হল; সমীকরণ ২

চারটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল + ভিতরের বর্গের ক্ষেত্রফল

(a+b)2=4ab2+c2(a+b)2=4ab2+c2

১ ও ২ নং সমীকরণ থেকে পাই,

a2+2ab+b2=4ab2+c2a2+2ab+b2=4ab2+c2

a2+2ab+b2=2ab+c2a2+2ab+b2=2ab+c2

a2+b2=c2a2+b2=c2

পিথাগোরাসের উপপাদ্য এর বহুনির্বাচনী সাজেশন

১. পিথাগোরাস কী ছিলেন?
ক) গণিতবিদ
খ) অর্থনীতিবিদ
গ) দার্শনিক
ঘ) সমাজসেবক
সঠিক উত্তর: (গ)

২. সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে কী বলে?
ক) লম্ব
খ) উচ্চতা
গ) অতিভুজ
ঘ) মধ্যমা
সঠিক উত্তর: (গ)

৩. পিথাগোরাসের জন্মের পূর্বে কোন দেশে সমকোণী ত্রিভুজের ব্যবহার ছিল?
ক) মিসর
খ) ভারত
গ) রাশিয়া
ঘ) চীন
সঠিক উত্তর: (ক)

আরো পড়ুন:  জে.এস.সি বাংলা ১ম পত্র পদ্য অধ্যায় - ২১: প্রার্থী এর সকল তথ্য ও MCQ প্রশ্নোত্তর PDF ডাউনলোড করুন

৪. সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে ভূমি ও অতিভূজের অনুপাত 3 : 5 হলে লম্ব কত হবে?
ক) 3
খ) 5
গ) 4
ঘ) 9
সঠিক উত্তর: (গ)

৫. সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র-
i. অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টির সমান
ii. সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুইটির উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান
iii. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i ও ii
খ) i
গ) ii
ঘ) iii
সঠিক উত্তর: (ক)

৬. পিথাগোরাস কোন ত্রিভুজ নিযে প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্য নিরুপণ করেন?
ক) সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ
খ) সমকোণী ত্রিভুজ
গ) স্থূলকোণী ত্রিভুজ
ঘ) বিষমকোণী ত্রিভুজ
সঠিক উত্তর: (খ)

৭. ABC ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে 1 ও 1 হলে অতিভুজ কী হবে?
ক) 1
খ) √2
গ) 2
ঘ) 3
সঠিক উত্তর: (খ)

৮. সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে 600 কোণ অঙ্কনের ক্ষেত্রে কোন শর্তটি সঠিক?
ক) ভূমি = লম্ব
খ) ভূমি > লম্ব
গ) ভূমি < লম্ব
ঘ) ভূমি ≥ লম্ব
সঠিক উত্তর: (গ)

৯. সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটি 600 অপর সূক্ষ্মকোণের মান নিচের কোনটি?
ক) 300
খ) 350
গ) 400
ঘ) 450
সঠিক উত্তর: (ক)

১০. কোনো সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 30 বর্গ সে. মি. পরিসীমা 30 সে. মি. হলে বাহুগুলো কী হবে?
ক) 5, 12, 13
খ) 5, 10, 15
গ) 5, 11, 16
ঘ) 8, 12, 10
সঠিক উত্তর: (ক)

১১. সমকোণী ত্রিভুজের তিনকোণের সমষ্টি কত ডিগ্রি?
ক) 900
খ) 1800
গ) 1200
ঘ) 2700
সঠিক উত্তর: (খ)

আরো পড়ুন:

সকল শ্রেণির গণিত মেইন বই ও গাইড বই PDF ডাউনলোড করে নিন

১২. নিচের কোন অনুপাতটি দ্বারা সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?
ক) 3 : 4 : 5
খ) 3 : 5 : 7
গ) 4 : 5 : 7
ঘ) 4 : 9 : 10
সঠিক উত্তর: (ক)

১৩. একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 48 বর্গ সে. মি. এবং সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 6 সে. মি. হলে সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল কত সে. মি.?
ক) 12
খ) 16
গ) 18
ঘ) 24
সঠিক উত্তর: (খ)

১৪. সমবাহু ত্রিভুজের সমকোণের সমদ্বিখন্ডক কয়টি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে?
ক) একটি
খ) দুইটি
গ) তিনটি
ঘ) চারটি
সঠিক উত্তর: (খ)

১৫. সমকোনী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = কী?
ক) 1/2 x ভূমি x উচ্চতা
খ) বাহুগুলোর গুণফল
গ) ভূমি x উচ্চতা
ঘ) বাহু x অতিভুজ
সঠিক উত্তর: (ক)

১৬. কোনটির সাহায্যে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রমাণ করা যায়?
ক) দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের সাহায্যে
খ) দুইটি বর্গের সাহায্যে
গ) তিনটি সূক্ষ্মকাণী ত্রিভুজের সাহায্যে
ঘ) ট্রাপিজিয়ামের সাহায্যে
সঠিক উত্তর: (ক)

১৭. পিথাগোরাসের জন্মের পূর্বে কোন যুগে সমকোণী ত্রিভুজের ব্যবহার ছিল?
ক) মিশরীয় ও ব্যবিলনীয়
খ) বোঞ্জ যুগে
গ) আরবীয় যুগে
ঘ) মুসলিম যুগে
সঠিক উত্তর: (ক)

১৮. কত শতাব্দীতে পিথাগোরাস সমকোণী ত্রিভুজ সম্পর্কে প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্য নিরূপণ করেন?
ক) ষষ্ঠ শতাব্দী
খ) খ্রিষ্টপূর্ব ষষ্ঠ শতাব্দী
গ) সপ্তত শতাব্দী
ঘ) অষ্টম খ্রিষ্টপূর্ব
সঠিক উত্তর: (খ)

১৯. সমকোণী ত্রিবুজে কয়টি বাহু থাকে?
ক) দুইটি
খ) তিনটি
গ) চারটি
ঘ) পাঁচটি
সঠিক উত্তর: (খ)

২০. একটি ত্রিভুজ-
i. একটি কোণের মান দুই সমকোণের অর্ধেক হলে এটি সমকোণী ত্রিভুজ।
ii. তিনটি বাহুর পরিমাপ যথাক্রমে 3cm, 4cm এবং 5cm হলে এটি পিথাগোরাসের সূত্র মেনে চলে।
iii. ভূমি a, লম্ব b এবং অতিভুজ c হলে ত্রিভুজটি সমকোণী হবে যদি a2 + b2 = c2 হয়। নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i
খ) ii
গ) iii
ঘ) i, ii ও iii
সঠিক উত্তর: (ঘ)

আরো পড়ুন:  Parts of Speech খুব সহজে শিখুন ছন্দে ছন্দে

২১. সমকোণী ত্রিভুজের-
i. বৃহত্তম বাহুই অতিভুজ
ii. সমকোণের বিপরীত বাহু অতিভুজ
iii. কোনো কোণই সমকোণ নয় নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i
খ) ii
গ) i ও ii
ঘ) iii
সঠিক উত্তর: (গ)

২২. সমকোনী ত্রিভুজের-
i. একটি কোণ সমকোণ
ii. দুইটি কোণ সূক্ষ্মকোণ
iii. একটি কোণ স্থূলকোণ নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i ও ii
খ) i
গ) ii
ঘ) iii
সঠিক উত্তর: (ক)

২৩. সমকোণী ত্রিভুজ-
i. একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ
ii. সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের যোগফল অতিভুজ অপেক্ষা বড়
iii. তিন বাহুর যোগফলই পরিসীমা নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i
খ) ii
গ) iii
ঘ) i, ii ও iii
সঠিক উত্তর: (ঘ)

২৪. একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুইটি বাহু যথাক্রমে 5 সে.মি. এবং 12 সে.মি.। ত্রিভুজের অপর বাহু নিচের কোনটি?
ক) 9 সে.মি.
খ) 12 সে. মি.
গ) 13 সে. মি.
ঘ) 15 সে. মি.
সঠিক উত্তর: (গ)

২৫. পিথাগোরাস কোন দেশের দার্শনিক ছিলেন?
ক) গ্রিক
খ) রাশিয়া
গ) ইংল্যান্ড
ঘ) ইংরেজ
সঠিক উত্তর: (ক)

২৬. সমকোণী ত্রিভুজের কয়টি সূক্ষ্মকোণ?
ক) একটি
খ) দুইটি
গ) তিনটি
ঘ) চারটি
সঠিক উত্তর: (খ)

২৭. একটি সমকোণী ত্রিভুজের একটি বাহু ও অতিভুজের অনুপাত 5 : 13 হলে অপর বাহু কত?
ক) 5
খ) 12
গ) 13
ঘ) 18
সঠিক উত্তর: (খ)

২৮. চাঁদার 900 থেকে 1800 রেখাংশের দৈর্ঘ্য √41 সে. মি. ও উচ্চতা 5 সে. মি. হলে উক্ত ক্ষেত্রে চাঁদার ভূমির দৈর্ঘ্য কত সে. মি. হবে?
ক) 4
খ) 5
গ) √14
ঘ) 5√2
সঠিক উত্তর: (ক)

২৯. সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রমাণ করা যায়-
i. বীজগণিতের বর্গের সূত্র দ্বারা
ii. দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের সাহায্যে
iii. দুইটি সদৃশ্যকোণী ত্রিভুজ দ্বারা নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i
খ) ii
গ) iii
ঘ) i, ii ও iii
সঠিক উত্তর: (ঘ)

৩০. সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে 300 কোণ অঙ্কনের জন্য কোন শর্তটি সঠিক?
ক) ভূমি > লম্ব
খ) ভূমি = লম্ব
গ) ভূমি ≥ লম্ব
ঘ) ভূমি < লম্ব
সঠিক উত্তর: (ক)

আরো পড়ুন:

জ্যামিতির সকল প্রকার সংজ্ঞা গুলি এক নজরে দেখে নিন

৩১. ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 1: 1 : √2 । ত্রিভুজটি কোণ ধরনের?
ক) সমকোণী
খ) সূক্ষকোণী
গ) স্থূলকোণী
ঘ) বিষমবাহু
সঠিক উত্তর: (ক)

৩২. পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিবৃতি হলো কোন ত্রিভুজের ভিত্তিতে?
ক) সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ
খ) সমকোণী ত্রিভুজ
গ) স্থূলকোণী ত্রিভুজ
ঘ) সরলকোনী ত্রিভুজ
সঠিক উত্তর: (খ)

৩৩. 21 মি. দীর্ঘ দন্ডায়মান একটি গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য 7 মি. হলে গাছটির শীর্ষ হতে ছায়ার শেষ প্রান্ত পর্যন্ত দূরত্ব কত?
ক) 12
খ) 17
গ) 22
ঘ) 25
সঠিক উত্তর: (ঘ)

৩৪.

৩৫.সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ পরস্পর কীরূপ?
ক) সমান
খ) সমান্তরাল
গ) পূরক
ঘ) সম্পূরক
সঠিক উত্তর: (গ)

আরো পড়ুন:  নবম-দশম শ্রেনির গণিত অধ্যায় -১: বাস্তব সংখ্যা সম্পর্কিত সকল গুরত্বপূর্ণ প্রশ্ন সমাধান ও সাজেশন পিডিএফ ডাউনলোড

৩৬. একটি ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 সে. মি., 4 সে. মি. ও 5 সে. মি. হলে-
i. ত্রিভুজটি সমকোণী
ii. সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে 3 সে. মি. ও 4 সে. মি.।
iii. ত্রিভুজটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য মেনে চলে না। নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i ও ii
খ) i
গ) ii
ঘ) iii
সঠিক উত্তর: (ক)

৩৭. ΔABC এর ∠B সমকোণ হলে অতিভুজ কী হবে?
ক) BC
খ) AC
গ) AB
ঘ) BA
সঠিক উত্তর: (খ)

৩৮. সমকোণী ত্রিভুজের কয়টি কোন সমকোণ?
ক) একটি
খ) দুইটি
গ) তিনটি
ঘ) চারটি
সঠিক উত্তর: (ক)

৩৯. সমকোণ- i. 900 ii. 450 iii. সরলকোণের সমদ্বিখন্ডক নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i
খ) ii
গ) i ও iii
ঘ) iii
সঠিক উত্তর: (গ)

৪০.ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 1: 1 : √2 হলে, ত্রিভুজের একটি কোণের মান কত হবে?
ক) 300
খ) 450
গ) 600
ঘ) 1000
সঠিক উত্তর: (খ)

৪১.ΔABC এর AC অতিভুজ হলে সমকোণ কোনটি হবে?
ক) ∠ABC
খ) ∠BAC
গ) ∠CAB
ঘ) ∠ACB
সঠিক উত্তর: (ক)

৪২. কোনটির সাহায্যে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রমাণ করা যায় না?
ক) (a – b)2
খ) (a + b)2
গ) (a – b)3
ঘ) দুটি সদৃশ্যকোণী ত্রিভুজ
সঠিক উত্তর: (গ)

৪৩. বর্গাকার ক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি.। এতে একটি কর্ণ অঙ্কন করলে কর্ণটির দৈর্ঘ্য কত সে. মি. হবে?
ক) 4
খ) 4√2
গ) 16
ঘ) 16√2
সঠিক উত্তর: (খ)

৪৪. সমকোণী ত্রিভুজের কয়টি কোণ স্থূলকোণ?
ক) একটিও না
খ) একটি
গ) দুইটি
ঘ) তিনটি
সঠিক উত্তর: (ক)

৪৫. কোনো সমকোণী ত্রিভুজের পরিসীমা 2 + √2 ও একটি কোণ 450 হলে ক্ষেত্রফল কী হবে?
ক) 1/2 বর্গ . মি.
খ) 1/4 সে. মি.
গ) 1/2 সে. মি.
ঘ) √2 বর্গ সে. মি.
সঠিক উত্তর: (ক)

আরো পড়ুন:

গণিতের সকল নোট একসাথে PDF ডাউনলোড করে নিন

৪৬. ABC ত্রিভুজের AC2 = AB2 + BC2 হলে কোনটি সমকোণ হবে?
ক) ∠A
খ) ∠B
গ) ∠C
ঘ) ক ও খ উভয়ই
সঠিক উত্তর: (গ)

৪৭. ABC ত্রিভুজের AB = AC, ∠A = ∠900 হলে ∠B = কত?
ক) 400
খ) 450
গ) 500
ঘ) 600
সঠিক উত্তর: (খ)

৪৮. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গ ক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টির সমান- উপপাদ্যটি কে বিবৃত করেছেন?
ক) টলেমী
খ) দ্যমরগ্যান
গ) কন্টে
ঘ) পিথাগোরাস
সঠিক উত্তর: (ঘ)

৪৯.সমকোণী ত্রিভুজের-
i. সমকোণের বিপরীত বাহু অতিভুজ
ii. অতিভুজই বৃহত্তম বাহু
iii. ক্ষেত্রফল হবে অতিভুজের বর্গ নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i ও ii
খ) i
গ) ii
ঘ) iii
সঠিক উত্তর: (ক)

৫০. সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে 450 কোণ অঙ্কনের ক্ষেত্রে কোন শর্তটি সঠিক?
ক) ভূমি = লম্ব
খ) ভূমি > লম্ব
গ) ভূমি < লম্ব
ঘ) ভূমি ≥ লম্ব
সঠিক উত্তর: (ক)

PDF File Download From Here

📝 সাইজঃ- 354 KB

📝 পৃষ্ঠা সংখ্যাঃ8

Download From Google Drive

Download

  Direct Download 

Download